Борис Андреев родился 27 января (9 февраля) 1915 года в Саратове в семье рабочих.

Детские и юношеские годы прошли в Аткарске. После окончания школы-семилетки в 1930 году работал слесарем-электромонтёром на комбайновом заводе в Саратове (1930—1935). В 1933—1935 годах без отрыва от работы учился в Школе рабочей молодёжи при заводском управлении. Уже тогда начал ходить в заводской драмкружок. Заметивший успехи Андреева известный саратовский актёр И. А. Слонов предложил Борису поступить в Саратовское театральное училище (с 1933 года - имени И. А. Слонова, ныне Театральный институт Саратовской государственной консерватории им. Собинова), которое Андреев успешно окончил в 1937 году. Коллектив завода всемерно поддерживал начинающего артиста и даже платил ему стипендию, после выпускных экзаменов его встречали как своего героя: «В этом году наш завод выпустил 1738 комбайнов и одного актёра».

В 1937—1938 годах — актёр Саратовского драматического театра им. К. Маркса (с 2003 — имени И. А. Слонова). Во время гастролей театра в Москве актёра заметил кинорежиссёр И. А. Пырьев и пригласил в картину «Трактористы». Фильм вышел на широкий экран в 1939 году, в фильме актёр выступил достойно и не затерялся среди уже известных артистов.

В 1938—1941 годах — актёр Киевской киностудии (ныне «Киностудия имени А. Довженко»), в 1941—1942 — Ташкентской киностудии (ныне «Узбекфильм») и ЦОКС (ныне «Казахфильм»), в 1943—1944 — Ашхабадской (ныне «Туркменфильм»), Сталинабадской (ныне «Таджикфильм») и Тбилисской киностудий (ныне «Грузия-фильм»), в 1944—1982 — Театра-студии киноактёра (ныне Государственный театр киноактёра).

Во время съёмок фильмов «Трактористы» и «Истребители» приобрёл двух очень близких друзей — П. Алейникова и Н. Крючкова. Впоследствии в кругу киноактёров он называл эту компанию «святой троицей».

В 1941 году артист, будучи в крепком подпитии, позволил себе ряд резких отзывов о руководстве страны. Андреева заключили в СИЗО, ему грозила 58-я, «политическая» статья, однако через несколько месяцев актёра освободили по личному указанию Сталина.

В годы войны вместе с М. Бернесом снялся в легендарном фильме «Два бойца» (1943).

В роли Ильи Журбина в фильме «Большая семья» (1954) проявилось умение актёра воплощать психологически глубокие характеры. Проникнуто эмоциональной насыщенностью исполнение Андреевым ролей Лазаря Баукина в экранизации повести Павла Нилина «Жестокость» (1959) и боцмана Росомахи в экранизации повести Виктора Конецкого «Путь к причалу» (1962). Крупнейшей работой артиста в кино стал Вожак в фильме «Оптимистическая трагедия» (1963).

Принимал участие в озвучивании мультфильмов.

Член правления Союза кинематографистов СССР. В 1960—1982 годах — председатель актёрской секции Союза.